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淺談階層線性迴歸（Hierarchical linear model, HLM）

如同結構方程模型（SEM）是一種統計方法，階層線性迴歸（HLM）亦是一種統計方法，這種方法其實已經被應用幾十年了（Hofman, 1997），過去多用在商業組織、教育等方面的研究，但近年來也越來越多心理學的研究開始應用這套統計方法。而HLM這樣的統計方法，相當適合做為階層性資料的分析方法。所謂階層性資料指的是，當我們在研究學生社經地位對其學習成績的影響時，我們會發現，學生其實是隸屬於或鑲嵌在（nested）學校之中的，而學校又歸屬於不同城市之下，因此當我們在探討學生社經地位對學習成績的影響時，因為不同的學校教育方針可能會影響到學生的社經地位的高低（學校對學生會有影響），而不同城市的城鄉差距，可能又會對不同學校的教育方針（城市對學校）有影響，因此我們無可避免的需要將不同的學校和不同的城市列入考量，才能得到較精確的結果，這時我們就會有三種不同的階層：第一個階層是「學生」，第二個階層是「學校」，第三個階層是「城市」，而這也就是我們所謂的階層性資料。

這種統計方法的好處在於，當我們所收集的是屬於階層性的資料時，利用HLM能夠避免傳統統計方法在估計上可能產生的問題。其中若我們用過去的傳統迴歸方程式同時考量學生、學校和城市這三種不同的變項時，我們必須把這三個變項同時放入迴歸式中，也就是：

但這時我們會發現，因為城市會影響學校，學校又會影響到學生，因此這將違反傳統迴歸分析中各變項須相互獨立的假設，導致分析上的錯誤。另一方面，實際上，學生階層的誤差、學校階層的誤差和城市階層的誤差應該都是有所不同的，但在傳統迴歸式中，我們會發現，這三種不同的誤差都被混在中，而沒辦法區分到底哪個階層所佔的誤差或重要的性最高。

再舉一個例子來說，如果有一個研究發現「工作時數」和「生活滿意度」的關係如下圖時：

我們可能會誤以為生活滿意度和工作時數間是有正相關的，也就是說，我們會發現甚至下結論說「工作時數與生活滿意度之間有正相關存在」。但當我們利用HLM，加入公司這個層次後，近一步看待這筆資料時，我們可能會發現到如下的結果：

也就是說，這時我們會發現，其實各個公司間它門的工作時數和生活滿意度其實是負相關的，但當我們沒有進一步考量公司這個層次時，便有可能會得出錯誤的結論，這也是為什麼我會需要用HLM分析階層性之資料的原因之一。

HLM的原則其實也是建立在傳統線性迴歸上，但它多了階層的概念，它的二階層模型大致如下：

Yij指的是結果變項（依變項），Xij指的是層一的預測變項，Wj則是層二的預測變項。簡單來說，在HLM中，我們能夠用層二的預測變項去預測層一的截距和斜率，如果層一的預測變項是學生的社經地位，結果變項是學生的成績，而層二的預測變項是學校的管教程度時，我們就可以利用HLM來探討各學校不同的管教程度是不是會影響到學生的數學成績（截距），或學校的管教程度會不會影響到學生社經地位對數學成績的關係（斜率）。

上述是HLM的簡單介紹，因為是自學的關係，若有任何錯誤也麻煩告知，最後須注意的是，階層線性模式（Hierarchical linear model）和階層迴歸（hierarchical regression）是不同的，後者仍然是傳統的迴歸方法，但僅是將變項以不同的順序放入迴歸模型中。

參考資料

Hofmann DA (1997). An overview of the logic and rationale of hierarchical linear models. Journal of Management, 23, 723-744

階層線性模式（郭志剛譯）（民國97年）。台北市：五南。（原著出版年：2002年）